试题：
| 已知函数f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1处取得极值 （1）求函数f（x）的解析式； （2）求证：对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；（3）若过点A（1，m）（m≠﹣2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的范围． |
绝对值不等式, 导数的概念及其几何意义, 函数解析式的求解及其常用方法
2016-05-23
答案：
我来补答| 解：（1）f′（x）=3ax2+2bx﹣3，依题意，f′（1）=f′（﹣1）=0，解得a=1，b=0． ∴f（x）=x3﹣3x （2）∵f（x）=x3﹣3x， ∴f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）， 当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0， 故f（x）在区间[﹣1，1]上为减函数，fmax（x）=f（﹣1）=2，fmin（x）=f（1）=﹣2 ∵对于区间[﹣1，1]上任意两个自变量的值x1，x2， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）| |f（x1）﹣f（x2）|≤|fmax（x）﹣fmin（x）|=2﹣（﹣2）=4 （3）f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1）， ∵曲线方程为y=x3﹣3x， ∴点A（1，m）不在曲线上．设切点为M（x0，y0）， 切线的斜率为  （左边用导数求出，右边用斜率的两点式求出），整理得2x03﹣3x02+m+3=0．∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，故此方程有三个不同解， 下研究方程解有三个时参数所满足的条件设g（x0）=2x03﹣3x02+m+3， 则g′（x0）=6x02﹣6x0，由g′（x0）=0，得x0=0或x0=1． ∴g（x0）在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减． ∴函数g（x0）=2x03﹣3x02+m+3的极值点为x0=0，x0=1 ∴关于x0方程2x03﹣3x02+m+3=0有三个实根的充要条件是  ，解得﹣3＜m＜﹣2．故所求的实数a的取值范围是﹣3＜m＜﹣2． |
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