已知函数f（x）=x2-alnx（常数a＞0），g（x）=ex-x．（1）证明：ea＞a； / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=x²-alnx（常数a＞0），g（x）=e^x-x．
（1）证明：e^a＞a；
（2）当a＞2e时，讨论函数f（x）在区间（1，e^a）上零点的个数（e为自然对数的底数）．

函数的零点与方程根的联系, 函数的单调性与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）证明：得g′（x）=e^x-1，令g′（x）=0得到x=0
当x＞0时，g′（x）=e^x-1＞1-1=0，
∴g（x）在[0，+∞）上是增函数，
又a＞0，得g（a）＞g（0）=1＞0．
所以，e^a-a＞0，即e^a＞a．
（2）因为f′(x)=2x-

2x2-a

2(x-

)(x+

)

．
当0＜x＜

时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x＞

时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f(x)min=f(

(1-ln

)．
又由（1）得

＜a＜ea＜e2a(a≥0，a＜2a)⇒

＜ea，
且当a＞2e时，

＞

＞1，有1＜

＜ea．
而f（1）=1＞0，f（e^a）=e^2a-a²=（e^a-a）（e^a+a）＞0，
当a＞2e时，f(x)min=f(

(1-ln

)＜0，
所以，当a＞2e时，函数f（x）在（1，e^a）上有两个零点．

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