试题：
| 若x1、x2（x1≠x2）是函数f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）的两个极值点． （1）若  ，求函数f（x）的解析式；（2）若  ，求b的最大值． |
函数的零点与方程根的联系, 函数解析式的求解及其常用方法
2016-05-22
答案：
我来补答| 解：（1）∵f（x）=ax3+bx2﹣a2x（a＞0）， ∴f′（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0） 依题意有  和1是方程3ax2+2bx﹣a2=0的两根∴  解得  ，∴f（x）=x3﹣x2﹣x．（经检验，适合）． （2）∵f′（x）=3ax2+2bx﹣a2（a＞0）依题意，x1，x2是方程f′（x）=0的两个根， ∴x1x2=﹣  ＜0且  ，∴  ，∴b2=3a2（9﹣a） ∵b2≥0 ∴0＜a≤9． 设p（a）=3a2（9﹣a），则p'（a）=54a﹣9a2． 由p′（a）＞0得0＜a＜6，由p′（a）＜0得a＞6． 即函数p（a）在区间（0，6]上是增函数，在区间[6，9]上是减函数， ∴当a=6时，p（a）有极大值为324， ∴p（a）在（0，9]上的最大值是324， ∴b的最大值为18． |
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