已知函数f（x）=ex+x2-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）（Ⅰ）求证：函数 / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=e^x+x²-x．（e=2.71828…为自然对数的底数）
（Ⅰ）求证：函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（Ⅱ）若函数y=|f（x）-t|-1有三个零点，求t的值；
（Ⅲ）记λ(n)=

+…+

，求证：e+

3	e

+…+

n	e

＞n+

+λ(n)（n≥2，n∈N^*）．

函数的零点与方程根的联系, 函数的单调性与导数的关系, 数列求和的其他方法（倒序相加，错位相减，裂项相加等） 2016-05-22

答案：

我来补答

（Ⅰ）可得f′（x）=e^x+2x-1，
∵x＞0，∴f′（x）＞0
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．…（4分）
（Ⅱ） y=|f（x）-t|-1有三个零点，即|f（x）-t|=1，f（x）=t±1有三个零点；
由f′（x）=e^x+2x-1=0得：x=0
当x＜0时，f'（x）＜0，得：f（x）在（-∞，0）上单调递减；
当x＞0时，f'（x）＞0，得：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
所以，只需[f（x）]_min=t-1，即f（0）=t-1，∴t=2．…（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：f（x）在（0，+∞）上单调递增；
f（x）＞f（0）∴e^x+x²-x＞1，∴e^x＞1-x²+x
当n≥2，n∈N^*时，e

＞1-

n(n-1)

=1-(

n-1

，又e＞2
叠加得：e+

3	e

+…+

n	e

＞n+

+λ(n)，
∴当n≥2，n∈N^*时，e+

3	e

+…+

n	e

＞n+

+λ(n)成立．…（15分）

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