已知函数fx=ln|x|x≠0，函数gx=1f′x+af′xx≠0（I）当x≠0时，求函数 / 微思试题库

试题：

已知函数f

=ln|x|

x≠0

，函数g

f′

+af′

x≠0

（I）当x≠0时，求函数y=g

的表达式；
（Ⅱ）若a＞0，且函数y=g

在

0，+∞

上的最小值是2，求a的值；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中所求的a值，若函数h(x)=

x3-

b+1

x2+bx，x∈R，恰有三个零点，求b的取值范围．

函数的零点与方程根的联系, 导数的运算, 函数的最值与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答

（Ⅰ）∵f

=ln|x|，
∴当x＞0时，f

=lnx；当x＜0时，f

=ln

-x

∴当x＞0时，f′

；当x＜0时，f′

-x

•

-1

．
∴当x≠0时，函数y=g

=x+

；
（Ⅱ）∵由（1）知当x＞0时，g

=x+

，
∴当a＞0，x＞0时，g

≥2

当且仅当x=

时取等号．
由2

=2，得a=1，
（Ⅲ）h′（x）=x²-（b+1）x+b=（x-1）（x-b）
令h′（x）=0，得x=1或x=b．
（1）若b＞1，则当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当1＜x＜b，时h′（x）＜0，当x＞b时，h′（x）＞0；
（2）若b＜1，且b≠0，则当0＜x＜b时，h′（x）＞0，当b＜x＜1时，h′（x）＜0，当x＞1时，h′（x）＞0．
所以函数h（x）有三个零点的充要条件为

f(1)＞0

f(b)＜0

或

f(1)＜0

f(b)＞0

解得b＜

或b＞3．
综合：b∈(-∞，0)∪(0，

)∪(3，+∞)
另h(x)=

x3-

b+1

x2+bx=

x[2x2-3(b+1)x+6b]
所以，方程2x²-3（b+1）x+6b=0，有两个不等实根，且不含零根．
由

9(b+1)2-48b＞0

b≠0

，解得：b∈(-∞，0)∪(0，

)∪(3，+∞)．

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