试题：
已知函数f（x）=x2（x-3a）+
1
2
（a＞0，x∈R）．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
函数的零点与方程根的联系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答
当f'（x）=3x（x-2a）．（2分）
令f'（x）=0，得x=0，或x=2a．且f(0)=
1
2
，f(2a)=-4a3+
1
2
．（6分）
（Ⅰ）当a＞0时，2a＞0．
当x变化时，函数在（-∞，0）增函数，在（0，2a）上单调减，在（2a，+∞）上单调增（8分）
∴当a＞0时，在x=0处，函数f（x）有极大值f(0)=
1
2
；在x=2a处，函数f（x）有极小值f(2a)=-4a3+
1
2
．（10分）
（Ⅱ）要使函数f（x）=0有三个不同的零点，必须f(2a)=-4a3+
1
2
＜0．（12分）
解得a＞
1
2
．∴当a∈(
1
2
，+∞)时，函数y=f（x）有三个不同的零点．（14分）
 
 
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