已知函数f(x)=m-x2x（m∈R）．（1）若y=log13[8-f(x)]在[1，+∞ / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=

m-x2

（m∈R）．
（1）若y=log

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，求实数m的取值范围；
（2）设g（x）=f（x）+lnx，当m≥-2时，求g（x）在[

，2]上的最大值．

对数函数的图象与性质, 函数的最值与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）因为函数y=log

[8-f(x)]在[1，+∞）上是单调减函数，则根据复合函数的单调性可得f（x）在[1，+∞）上是单调减函数，其导数在[1，+∞）上恒小于等于0，且满足f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，所以f′(x)=

-x2-m

≤0恒成立，即

x2+m

≥0在[1，+∞）上恒成立，解得m≥-1…（3分）

要使f（x）＜8在[1，+∞）上恒成立，只需要[f（x）]_max＜8，又f（x）在[1，+∞）上单调减函数，
∴f（1）＜8，解得m＜9，
∴-1≤m＜9…（6分）
（2）g(x)=

m-x2

+lnx，g′(x)=-

x2-x+m

(x-

)2+m-

…（7分）

当m-

≥0，即m≥

时，g'（x）≤0，
∴g（x）在[

，2]上单调递减，
∴g(x)max=g(

)=2m-

-ln2…（9分）
当-2≤m＜

时，由g'（x）=0得x1=

1-4m

，x2=

1-4m

，
显然-1≤x1＜

，

＜x2≤2，
∴x1∉[

，2]，x2∈[

，2]，又g′(x)=-

(x-x1)(x-x2)

当

≤x≤x2时，g'（x）≥0，g（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，g'（x）＜0，g（x）单调递减 …（12分）
∴g(x)max=g(x2)=

1-4m

+ln

1-4m

+ln

1-4m

…（14分）

综上所述，（1）当m≥

时，g(x)max=2m-

-ln2；
（2）当-2≤m＜

时，g(x)max=-

1-4m

+ln

1-4m

…（16分）

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