试题：
已知函数f（x）=sin2x+acosx+
5
8
a-
3
2
，a∈R．
（1）当a=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若x∈[0，
π
2
]Z，当a∈R时，求函数f（x）的最大值．
二次函数的性质及应用 2016-05-22

答案：

我来补答
化简可得f（x）=-cos2x+acosx+
5
8
a-
1
2
，
令t=cosx，所以f（x）=-t2+at+
5
8
a-
1
2
，
（1）当a=1时，f（x）=-t2+t+
1
8
=-(t-
1
2
)2+
3
8
，
因为x∈R，所以t∈[-1，1]，
关于t的二次函数开口向下，对称轴为t=
1
2
，
故当t=
1
2
时，函数取最大值f(x)max=
3
8
，…（8分）
（2）因为x∈[0，
π
2
]，所以t∈[0，1]，
由于函数对称轴为x=
a
2
，
故当
a
2
≤0，即a≤0时，函数在x=0处，函数取最大值
5
8
a-
1
2
，
当0＜
a
2
＜1，即0＜a＜2时，函数在x=
a
2
处，函数取最大值
a2
4
+
5
8
a-
1
2
，
当
a
2
≥1，即a≥2时，函数在x=1处，函数取最大值
13a
8
-
3
2
，
故f（x）max=
5
8
a-
1
2
(a≤0)
a2
4
+
5
8
a-
1
2
(0＜a＜2)
13
8
a-
3
2
(a≥2)
…（16分）
 
 
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