已知函数f（x）=a•2x+a-12x+1．（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数； / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

．
（I）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；
（II）确定a的值，使f（x）为奇函数；
（Ⅲ）当f（x）为奇函数时，求f（x）的值域．

函数的奇偶性、周期性, 分段函数与抽象函数 2016-05-22

答案：

我来补答

（I）证明：f（x）=

a•2x+a-1

2x+1

=a-

2x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（a-

2x1+1

）-（a-

2x2+1

）=

2x1-2x2

(2x1+1)(2x2+1)

，
因为x₁0，2x2+1＞0，
所以f（x₁）＜-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
故不论a为何实数f（x）总是为增函数；
（II）若f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即a-

2-x+1

=-（a-

2x+1

），
所以2a=

2-x+1

2x+1

=1，即a=

．
故当a=

时，f（x）为奇函数．
（Ⅲ）由（II）知，若f（x）为奇函数，a=

，f（x）=

2x+1

，
因为2^x＞0，所以0＜

2x+1

＜1，-1＜-

2x+1

＜0，所以-

＜f（x）＜

．
故f（x）的值域为（-

，

）．

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