已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．（1）求函数f（ / 微思试题库

试题：

已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取值范围．

二次函数的性质及应用, 函数的奇偶性、周期性, 分段函数与抽象函数, 函数解析式的求解及其常用方法 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）令x=0，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（1）-f（0）=0，
∴f（1）=f（0）
∵f（0）=1
∴f（1）=1，
∴二次函数图象的对称轴为x=

．
∴可令二次函数的解析式为f（x）=y=a(x-

)2+h．
令x=-1，则∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴f（0）-f（-1）=-2
∵f（0）=1
∴f（-1）=3，
∴

a+h=1

a+h=3

∴a=1，h=

∴二次函数的解析式为y=f(x)=(x-

)2+

=x2-x+1
（2）∵在区间[-1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+m的图象上方
∴x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立
∴x²-3x+1＞m在[-1，1]上恒成立
令g（x）=x²-3x+1，则g（x）=（x-

）²-

∴g（x）=x²-3x+1在[-1，1]上单调递减
∴g（x）_min=g（1）=-1，
∴m＜-1

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