试题：
| 已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，都有f （x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x>1时，f（x）>0，f（2）=1。 （1）求证：f（x）是偶函数； （2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）解不等式：f（2x2-1）<2。 |
函数的单调性、最值, 函数的奇偶性、周期性, 绝对值不等式
2016-05-22
答案：
我来补答| 解：（1）因对定义域内的任意x1，x2都有 f（x1·x2）=f（x1）+f（x2）， 令x1=x，x2=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1） 又令x1=x2=-1，得2f（-1）=f（1） 再令x1=x2=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0， 于是有f（-x）=f（x） ∴f（x）是偶函数； （2）设0<x1<x2，则f（x1）-f（x2）=f（x1）-   由于0<x1<x2 ∴  从而  故f（x1）-f（x2）<0，即f（x1）<f（x2） ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数； （3）由于f（2）=1， 所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）， 于是待解不等式可化为f（2x2-1）<f（4） 结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x2-1|<4 解得  。 |
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