已知函数f(x)=(m+1m)lnx+1x-x，（其中常数m＞0）（1）当m=2时，求f（ / 微思试题库

试题：

已知函数f(x)=(m+

)lnx+

-x，（其中常数m＞0）
（1）当m=2时，求f（x）的极大值；
（2）试讨论f（x）在区间（0，1）上的单调性；
（3）当m∈[3，+∞）时，曲线y=f（x）上总存在相异两点P（x₁，f（x₁））、Q（x₂，f（x₂）），使得曲线y=f（x）在点P、Q处的切线互相平行，求x₁+x₂的取值范围．

函数的奇偶性、周期性, 基本不等式及其应用, 函数的单调性与导数的关系, 函数的极值与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）当m=2时，f(x)=

lnx+

-x
f′(x)=

-1=-

(x-2)(2x-1)

2x2

（x＞0）
令f'（x）＜0，可得0＜x＜

或x＞2；令f'（x）＞0，可得

＜x＜2，
∴f（x）在(0，

)和（2，+∞）上单调递减，在(

， 2)单调递减
故f(x)极大=f(2)=

ln2-

（2）f′(x)=

-1=-

x2-(m+

)x+1

(x-m)(x-

)

（x＞0，m＞0）
①当0＜m＜1时，则

＞1，故x∈（0，m）∪(

， 1)时，f′（x）＜0；x∈（m，

）时，f'（x）＞0
此时f（x）在（0，m），(

， 1)上单调递减，在（m，

）单调递增；
②当m=1时，则

=1，故x∈（0，1），有f′(x)=-

(x-1)2

＜0恒成立，
此时f（x）在（0，1）上单调递减；
③当m＞1时，则0＜

＜1，
故x∈(0，

)∪（m，1）时，f'（x）＜0；x∈(

， m)时，f'（x）＞0
此时f（x）在(0，

)，（m，1）上单调递减，在(

， m)单调递增
（3）由题意，可得f′（x₁）=f′（x₂）（x₁，x₂＞0，且x₁≠x₂）
即

x12

-1=

x22

-1⇒x1+x2=(m+

)x1x2
∵x₁≠x₂，由不等式性质可得x1x2＜(

x1+x2

)2恒成立，又x₁，x₂，m＞0
∴x1+x2＜(m+

)(

x1+x2

)2⇒x1+x2＞

对m∈[3，+∞）恒成立
令g(m)=m+

(m≥3)，则g′(m)=1-

(m+1)(m-1)

＞0对m∈[3，+∞）恒成立
∴g（m）在[3，+∞）上单调递增，∴g(m)≥g(3)=

故

≤

g(3)

从而“x1+x2＞

对m∈[3，+∞）恒成立”等价于“x1+x2＞

g(3)

”
∴x₁+x₂的取值范围为(

， +∞)

展开全文阅读