已知函数f（x）=lnx，g(x)=2a2x2（a＞0）（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（ / 微思试题库

试题：

已知函数f（x）=lnx，g(x)=

2a2

（a＞0）
（Ⅰ）若设F（x）=f（x）+g（x），求F（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数H(x)=f(x)+

2g(x)

图象上任意点处的切线的斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值；
（Ⅲ）是否存在实数m，使得函数p(x)=

x3+x2+m-

的图象与q(x)=

f(x2)的图象恰好有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说明理由．

函数的零点与方程根的联系, 函数的奇偶性、周期性, 函数的单调性与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答

（I）F（x）=f（x）+g（x）=lnx+

2a2

（x＞0），F′（x）=

4a2

x2-4a2

(x＞0)
∵a＞0，由F'（x）＞0，得x＞2a，
∴F（x）的单调递增区间为（2a，+∞）．-----------------------（3分）
（II）H（x）=f（x）+

2g(x)

=lnx+

，H′（x）=

≤1(x＞0)，----------------------（5分）
∵2a≥-x²+x，又x²-x≤

，2a≥-

，a≥

．
所以实数a的最小值为

．--------------------------（8分）
（III）若p（x）=

x3+x2+m-

的图象与q（x）=

f(x2)=

lnx2的图象恰有三个不同交点，
即

x3+x2+m-

lnx2有三个不同的根，
亦即m=

lnx2-

x3-x2+

有三个不同的根．---------------------（10分）
令G（x）=

lnx2-

x3-x2+

，
则G′（x）=

-x²-2x=

-(x-1)(x2+3x+3)

．
当x＜0时G'（x）＜0，所以G（x）单调递减，且当x→0时，G（x）→-∞，当x→-∞时，G（x）→+∞
当0＜x＜1时G'（x）＞0；
∴G（x）单调递增，且当x→0时，G（x）→-∞，
当x＞1时，G'（x）＜0；
∴G（x）单调递减，
∴当x=1时，G（x）的极大值G（1）=-

．
所以，当 m＜-

时，方程m=

lnx2-

x3-x2+

有三个不同的解．--------------（14分）

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