试题：
函数f（x）=-ax31nx+3x3-4b在x=1处取得极值，其中a，b为常数．
（1）求实数a的值；
（2）若对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，求实数b的取值范围．
函数的奇偶性、周期性, 函数的单调性与导数的关系 2016-05-22

答案：

我来补答
（1）∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b，
∴f′（x）=-a（3x2lnx+x2）+9x2，
∵f（x）=-ax3lnx+3x3-4b在x=1处取得极值，
∴f′（1）=-a+9=0，解得a=9．
（2）由a=9，知f′（x）=-27x2lnx，x＞0，
令f′（x）=0，解得x=1．
∵0＜x＜1时，f′（x）＞0；x＞1时，f（x）＜0，
∴f（x）的减区间为（1，+∞），f（x）的增区间为（0，1），
∴f（x）max=f（1）=3-4b．
∵对∀x＞0，不等式f（x）-4b2≤0恒成立，
∴3-4b-4b2≤0，
解得b≤-
3
2
，或b≥
1
2
．
∴b的取值范围是（-∞，-
3
2
]∪[
1
2
，+∞）．
 
 
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