已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成 / 微思试题库

试题：

已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于任意x∈R，都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0．给出下列命题：
①f（3）=0；
②直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数；
④函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为______（把所有正确命题的序号都填上）

函数的零点与方程根的联系, 函数的单调性、最值, 函数的奇偶性、周期性 2016-05-22

答案：

我来补答

①：对于任意x∈R，都有f （x+6）=f （x）+f （3）成立，令x=-3，则f（-3+6）=f（-3）+f （3），又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（3）=0．
②：由（1）知f （x+6）=f （x），所以f（x）的周期为6，
又因为f（x）是R上的偶函数，所以f（x+6）=f（-x），
而f（x）的周期为6，所以f（x+6）=f（-6+x），f（-x）=f（-x-6），
所以：f（-6-x）=f（-6+x），所以直线x=-6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴．
③：当x₁，x₂∈[0，3]，且x₁≠x₂时，都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0
所以函数y=f（x）在[0，3]上为增函数，
因为f（x）是R上的偶函数，所以函数y=f（x）在[-3，0]上为减函数
而f（x）的周期为6，所以函数y=f（x）在[-9，-6]上为减函数．
④：f（3）=0，f（x）的周期为6，
所以：f（-9）=f（-3）=f（3）=f（9）=0
函数y=f（x）在[-9，9]上有四个零点．
故答案为：①②④．

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