试题：
设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记y+3x-
1
2
x2的最大值是M（a），试求：
（1）M（a）的表达式；（2）M（a）的最小值．
函数的单调性、最值 2016-05-22

答案：

我来补答
（1）设S（x）=y+3x-
1
2
x2，将y=2-ax代入消去y，得：
S（x）=2-ax+3x-
1
2
x2
=-
1
2
x2+（3-a）x+2
=-
1
2
[x-（3-a）]2+
1
2
（3-a）2+2（x≥0）
∵y≥0∴2-ax≥0
而a＞0∴0≤x≤
2
a

下面分三种情况求M（a）
（i）当0＜3-a＜
2
a
（a＞0），即
0＜a＜3
a2-3a+2＞0
时
解得0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=S（3-a）=
1
2
（3-a）2+2
（ii）当3-a≥
2
a
（a＞0）即
a＞0
a2-3a+2≤0
时，
解得：1≤a≤2，这时
M（a）=S（
2
a
）=2-a•+3•
2
a
-
1
2
•(
2
a
)2=-
2
a2
+
6
a

（iii）当3-a≤0；即a≥3时
M（a）=S（0）=2
综上所述得：
M（a）=
1
2
(3-a)2+2(0＜a＜1)
-
2
a2
+
6
a
1≤a≤2
1
2
(3-a)2+2(2＜a＜3)
2(a≥3)


（2）下面分情况探讨M（a）的最小值．
当0＜a＜1或2＜a＜3时
M（a）=
1
2
（3-a）2+2＞2
当1≤a≤2时
M（a）=-
2
a2
+
6
a
=-2（
1
a
-
3
2
）2+
9
2

∵1≤a≤2⇒
1
2
≤
1
a
≤1
∴当
1
a
=
1
2
时，M（a）取小值，即
M（a）≥M（2）=
5
2

当a≥3时，M（a）=2
经过比较上述各类中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．
 
 
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