已知定义域为R的函数f(x)=1-2x2x+1+a是奇函数．（1）求a的值；（2）若对任意 / 微思试题库

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试题：

已知定义域为R的函数f(x)=

1-2x

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．

函数的单调性、最值, 函数的奇偶性、周期性 2016-05-22

答案：

我来补答

（1）由f（x）是奇函数得，f（1）=-f（-1），
即

1-2

4+a

1+a

，解得a=2，
（2）∵f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，
∴f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）为奇函数，
∴f（t²-2t）＜f（-2t²+k）
由（1）得，
f(x)=

1-2x

2x+1+2

-(2x+1)+2

2(2x+1)

2x+1

，
∴f（x）在定义域内为单调递减函数，
∴t²-2t＞-2t²+k，即3t²-2t-k＞0恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

，
故k的取值范围是(-∞，-

)．

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