试题：
（本小题满分12  分）设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，则称函数f(x)为  函数。（1）试判断函数  =  = 中哪些是函数，并说明理由；（2）求证：若a>1，则函数f(x)=ln(x2+a)-lna是 函数。 |
函数、映射的概念
2016-05-22
答案：
我来补答（1）  不是 函数；（2）在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是函数. |
（1）∵|xsinx|≤|x|,∴f1(x)=xsinx是 函数；∵  ，∴不满足|f(0)|≤|0|,∴ 不是函数；………………………………4分（2）设F(x)  =f(x)-x,则F′(x)= ①当x>0时，∵a>1, ∴  当x=0时，F′(x)=-1<0 ∴当x≥0时，F′(x)= <0.∴ F(x)在 上是减函数………………………………8分∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0, ∴F(x)=f(x)-x≤0 ∵x>0时f′(x)= ∴函数f(x)在 上是增函数，∴f(x)≥f(0)=0∴0≤f(x)≤x,即|f(x)| ≤|x| ②当x<0时，-x>0, ∴|f(-x)|≤|-x|,显然f(x)为偶函数 ∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)| ≤|x|  ∴在R上恒有|f(x)| ≤|x|成立，则函数f(x) 是函数. ………12分 |
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