某同学在研究函数f（x）=2x|x|+1（x∈R）时，给出下列结论：①f（-x）+f（x） / 微思试题库

试题：

某同学在研究函数f（x）=

|x|+1

（x∈R）时，给出下列结论：
①f（-x）+f（x）=0对任意x∈R成立；
②函数f（x）的值域是（-2，2）；
③若x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂）；
④函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点．
则正确结论的序号是（　　）

A．②③④

B．①③④

C．①②③

D．①②③④

真命题、假命题 2016-05-22

答案：

我来补答

∵函数f（x）=

|x|+1

（x∈R）
∴f（-x）=

-2x

|-x|+1

|x|+1

，故f（-x）+f（x）=0恒成立，故①正确；
当x≥0时，f（x）=

x+1

=2+

-2

x+1

∈[0，2）
当x＜0时，f（x）=

-x+1

=-2+

-x+1

=-2-

x-1

∈（-2，0）
故函数f（x）的值域是（-2，2），故②正确；
函数f（x）=

|x|+1

在定义域上为增函数，故x₁≠x₂，则一定有f（x₁）≠f（x₂），故③正确；
函数g（x）=f（x）-2x=

|x|+1

-2x，当且仅当x=0时，g（x）=0，
故函数g（x）=f（x）-2x在R上只有一个零点，故④错误
故函数g（x）=f（x）-2x在R上有三个零点①②③
故选C

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