将三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数正好是91的倍数，试求ab= / 微思试题库

试题：

将三位数3ab接连重复地写下去，共写1993个3ab，所得的数正好是91的倍数，试求ab=？

整除和除尽 2016-05-21

答案：

我来补答

因为91=7×13，并且7与13互质，所以，7能整除

3ab3ab…3ab

，13能整除

3ab3ab…3ab

；
根据一个数能被7或13整除数的特征可知：
原数

3ab3ab…3ab

能被7以及13整除，当且仅当

3ab…3ab

（1992组

3ab

）-

3ab

能被7以及13整除，也就是

3ab…3ab000

（1991组）能被7以及13整除；
因为7与10互质，13与10互质，所以，7能整除

3ab…3ab000

（1991组），13能整除

3ab…3ab000

（1991组），也就是7能整除

3ab…3ab

（1991组），13能整除

3ab…3ab

（1991组），因此，用一次性质（特征）
，就去掉了两组

3ab

，反复使用性质996次，最后转化为：原数能被7以及13整除当且仅当3ab能被7以及13整除；
又因为91的倍数中小于1000的只有91×4=364的百位数字是3；
所以，

3ab

=364；
因此，ab=64．

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