如图，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=，过点Q / 微思试题库

试题：

如图，⊙O₁、⊙O₂相交于P、Q两点，其中⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=

，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O₁和⊙O₂于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O₁和⊙O₂于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E。
（1）求证：

；
（2）若PQ=2，试求∠E度数。

圆和圆的位置关系（圆和圆的相离，圆与圆的相交，圆与圆的相切）, 圆心角，圆周角，弧和弦, 相似三角形的判定, 相似三角形的性质, 解直角三角形 2016-05-20

答案：

我来补答

解：（1）证明：∵⊙O₁的半径r₁=2，⊙O₂的半径r₂=

，
∴PC=4，PD=2

，
∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC、PD分别是⊙O₁、⊙O₂的直径，
在⊙O₁中，∠PAB=∠PCD，
在⊙O₂中，∠PBA=∠PDC，
∴△PAB∽△PCD，
∴

，
即

；
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r₁=4，PQ=2，
∴cos∠CPQ=

，
∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r₂=2

，PQ=2，
∴sin∠PDQ=

，
∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°，
又∵PD是⊙O₂的直径，
∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°-∠PBQ=45°
在△EAB中，
∴∠E=180°-∠CAQ﹣∠ABE=75°，
答：∠E的度数是75°。

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