试题：
已知抛物线 。 |
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| （1）试说明：无论m为何实数，该抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）如图，当抛物线的对称轴为直线x=3时，抛物线的顶点为点C，直线y=x-1与抛物线交于A、B两点，并与它的对称轴交于点D， ①抛物线上是否存在一点P使得四边形ACPD是正方形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ②平移直线CD，交直线AB于点M，交抛物线于点N，通过怎样的平移能使得以C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。 |
正方形，正方形的性质，正方形的判定, 求二次函数的解析式及二次函数的应用, 平行四边形的判定
2016-05-19
答案：
我来补答解：（1）∵当y=0时，得关于x的一元二次方程 ，该方程根的判别式△=m2-4m+7=（m-2）2+3＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴总有两个不同的交点； （2）①由直线y=x-1与抛物线交于A点，且在x轴上， ∴点A（1，0）代入二次函数函数式则m=3， ∴二次函数式为：  ，当抛物线的对称轴为直线x=3时，则y=-2，即顶点C为（3，-2）， 把x=3代入直线y=x-1则y=2，即点D（3，2）， 则AD=AC=2  ，设点P（x，  ），由直线AD的斜率与直线PC的斜率相等，得  解得：x=3或x=5， 则点P（3，2）（与点D重合舍去）或（5，0）， 经检验点（5，0）符合，所以点P（5，0）， ②设直线CD平移n个单位可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 则M（3+n，n+2），N（3+n，  （3+n）2﹣3（3+n）+ ），根据平行四边形对边平行且相等的判定，只要MN=DC=4， （ⅰ）当点M在点N上方，得（n+2）-[ （3+n）2-3（3+n）+ ]=4，整理，得n2-2n=0，解得，n=0（与DC重合，舍去），n=2， （ⅱ）当点M在点N下方，得 [ （3+n）2﹣3（3+n）+ ]-（n+2）=4，整理，得n2-2n-16=0，解得，n=1±  综上所述，直线CD向右平移2或1+ 个单位或向左平移 -1个单位，可使得C、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形。 |
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