试题：
| 在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x+c经过直线y=2x+4与坐标轴的两个交点B、C，它与x轴的另一个交点为A，点N是抛物线对称轴与x轴的交点，点M为线段AB上的动点。 （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）如图（1），若过动点M的直线ME∥BC交抛物线对称轴于点E，试问抛物线上是否存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图（2），若过动点M的直线MD∥AC交直线BC于点D，连接CM，当△CDM的面积最大时，求点M的坐标。 |
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求二次函数的解析式及二次函数的应用, 相似三角形的性质, 平行四边形的判定
2016-05-19
答案：
我来补答解：（1）∵直线y=2x+4与坐标轴交点B、C的坐标分别是（-2，0）、（0，4） ， 解得a=-  ，c=4，∴抛物线解析式y=-  x2+x+4，∴抛物线与x轴的另一个交点A的坐标是（4，0）； （2）由（1）可知，点N坐标为（1，0），设点M（m，0）， ∵直线ME∥BC， ∴直线M的解析式为y=2（x-m）=2x-2m， 将x=1代入上式，得y=2-2m， ∴E（1，2-2m） 假设存在点F，使得以点M，N，E，F为顶点组成的四边形是平行四边形，  ∴F（2-m，2-2m）或F（m，2-2m）， ∵F点在抛物线上， ∴2-2m=-  （2-m）2+2-m+4或2-2m=- m2+m+4，整理，得m2-6m-4=0， 解之，得m  ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜m＜4； ∴  ∴    |
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| （3）如图DE⊥x轴于点E，设 M（x，0），则BM=x+2， ∵DM∥CA， ∴△DM∽△BCA， ∴  即DE=  （x+2）= x+ S△CDM=S△BCM-S△BDM =  BM·CO-BM·DE=  （x+2）×4- （x+2）（ x+ ）=-  （x-1）2+3 ∵点M为线段AB上的动点， ∴-2＜x＜4， ∴当x=1时，S最大值=3，此时M（1，0）。 |
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