试题：
| 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）交x轴于点A（-1，0）、B（3，0），交y轴于点C． （1）求抛物线的顶点M的坐标；（用a的代数式表示） （2）直线y=x+d经过C、M两点，并且与x轴交于点D． ①求抛物线的函数表达式； ②若四边形CDAN是平行四边形，且点N在抛物线上，则点N的坐标为（______，______）； ③设点P是抛物线对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．  |
求二次函数的解析式及二次函数的应用
2016-05-19
答案：
我来补答（1）由于抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过A（-1，0）、B（3，0），则有：
解得
∴y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a； ∴M（1，-4a）； （2）①由（1）知：C（0，-3a）； ∴直线y=x+d中，d=-3a，即y=x-3a； ∵直线y=x-3a经过M（1，-4a）， 则有：1-3a=-4a，a=-1； ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3；  ②由①的抛物线知：C（0，3），M（1，4），对称轴为x=1； 若四边形CDAN是平行四边形，则CN∥x轴， ∴C、N关于抛物线的对称轴对称， 即N（2，3）； ③存在符合条件的P点，且P（1，2
易知A（-1，0），B（3，0），M（1，4）； 由①可得直线CM的解析式为y=x+3，则D（-3，0）； 设抛物线的对称轴x=1与x轴的交点为Q，⊙P与直线CD的切点为E，连接PE、PA； 根据圆和抛物线的对称性知，圆心P必在抛物线的对称轴上，可设PE=PA=m； ∵在Rt△DMQ中，DQ=MQ=4， ∴△MDQ是等腰Rt△，∠DMQ=45°； 在Rt△PME中，PE=m，∠EMP=∠DMQ=45°，则PM=
在Rt△PAQ中，PA=m，AQ=
由于MQ=MP+PQ=4，即：
解得m=4
∴
即P（1，2
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