试题：
如图，已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为
（1）求m的值及抛物线的解析式； （2）设∠DBC=α，∠CBE=β，求sin（α-β）的值； （3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．  |
求二次函数的解析式及二次函数的应用
2016-05-19
答案：
我来补答（1）由题意可知C（0，-3），-
∴抛物线的解析式为y=ax2-2ax-3（a＞0）， 过M作MN⊥y轴于N，连接CM，则MN=1，CM=
∴CN=2，于是m=-1． 同理可求得B（3，0）， ∴a×32-2a×3-3=0，得a=1． ∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3． （2）由（1）得A（-1，0），E（1，-4），B（3，0），C（0，-3）． ∵M到AB，CD的距离相等，OB=OC， ∴OA=OD， ∴点D的坐标为（0，1）， ∴在Rt△BCO中，BC=
∴
在△BCE中，∵BC2+CE2=（32+32）+[（1-0）2+（-4+3）2]=20=（3-1）2+（0+4）2=BE2 ∴△BCE是Rt△
∴
即
∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=β， 因此sin（α-β）=sin（∠DBC-∠OBD）=sin∠OBC=
（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）． 过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2， 由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得P2（0，
过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）． 故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，
使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．  |
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