试题：
如图所示，在平面直角坐标系中有点A（-1，0），点B（4，0），以AB为直径的半圆交y轴正半轴于点 C．（1）求点C的坐标； （2）求过A，B，C三点的抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点D，使四边形BOCD为直角梯形，求直线BD的解析式； （4）设点M是抛物线上任意一点，过点M作MN⊥y轴，交y轴于点N．若在线段AB上有且只有一点P，使∠MPN为直角，求点M的坐标． |
求二次函数的解析式及二次函数的应用
2016-05-19
答案：
我来补答| （1）C点的坐标为（0，2）；理由如下： 如图，连接AC，CB．依相交弦定理的推论可得OC2=OA•OB， 解得OC=2． 故C点的坐标为（0，2）． （2）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4）． 把点C（0，2）的坐标代入上式得a=-
∴抛物线解析式是y=-
（3）如图，过点C作CD∥OB，交抛物线于点D，则四边形BOCD为直角梯形． 由（2）知抛物线的对称轴是x=
∴点D的坐标为（3，2）． 设过点B，点D的解析式是y=kx+b． 把点B（4，0），点D（3，2）的坐标代入上式得
解之得
∴直线BD的解析式是y=-2x+8． （4）依题意可知，以MN为直径的半圆与线段AB相切于点P． 设点M的坐标为（m，n）． ①当点M在第一或第三象限时，m=2n． 把点M的坐标（2n，n）代入抛物线的解析式得n2-n-1=0，  解之得n=
∴点M的坐标是（1+
②当点M在第二或第四象限时，m=-2n． 把点M的坐标（-2n，n）代入抛物线的解析式得n2+2n-1=0， 解之得n=-1±
∴点M的坐标是（2-2
综上，满足条件的点M的坐标是（1+
（2-2
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