如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=12x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8， / 微思试题库

试题：

如图已知二次函数图象的顶点为原点，直线y=

x+4的图象与该二次函数的图象交于A点（8，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．
（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于D点，与x轴交于点E．设线段PD的长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P，使得以点P、D、B为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

求二次函数的解析式及二次函数的应用 2016-05-19

答案：

我来补答

（1）设此二次函数的解析式为y=ax²，
∵A点（8，8）在二次函数y=ax²上，
∴8=a×8²，
∴a=

，
∴y=

x²，
∵直线y=

x+4与y轴的交点为B，
∴B点坐标为：（0，4）．

（2）P点在y=

x+4上且横坐标为t，
∴P（t，

t+4），
∵PD⊥x轴于E，
∴D（t，

t²），E（t，0），
∵PD=h，
∴

t+4-

x²=h，
∴h=-

x²+

t+4，

∵P与AB不重合且在AB上，
∴0＜t＜8．
（3）存在，
（1）当BD⊥PE时，
△PBD∽△BCO，
∵

，
∴

，
∴h=

t，
∴-

x²+

t+4=

t，
x=4

或x=-4

（舍去）
∴P点的纵坐标是：

×4

+4=2

+4，
∴此时P点的坐标是；（4

，2

+4）

（2）当DB⊥PC时，
△PBD∽△BCO，
过点B作BF⊥PD，

则F（t，4），
∴PF=

t+4-4=

t，
BF=t，
根据勾股定理得：
PB=

t2+(

t)2

t，
BC=

OB2+OC2

42+82

假设△PBD∽△BOC，
则有

，
∴

t+4-

，
解得：t₁=-8+4

，t₂=-8-4

（不合题意舍去），
∴

t+4=

×（-8+4

）+4=2

，
∴P（-8+4

，2

）．

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