试题：
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=- 与x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上。（1）求B点的坐标； （2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交于点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧作等腰直角三角形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）； ①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长； ②若P点从O点出发向A点做匀速运动，速度为每秒1个单位长度，同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点做匀速运动，速度为每秒2个单位长度（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F，在QF的延长线上取点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）若P点运动t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在间一条直线上，求此刻t的值。 |
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二次函数的图像, 等腰三角形的性质，等腰三角形的判定
2016-05-19
答案：
我来补答解：（1）∵抛物线y=- 经过原点，∴m2-3m+2=0， 解得m1=1，m2=2， 由题意知m≠l， ∴m=2， ∴抛物线的解析式为y=-  x2+ x，∵点B（2，n）在抛物线y=-  上， ∴n=4， ∴B点的坐标为（2，4） |
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| （2）①设直线OB的解析式为y=k1x 由（1）可求得直线OB的解析式为y=2x， ∵A点是抛物线与x轴的一个交点， 可求得A点的坐标为（10，0）， 设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）， 根据题意作等腰直角三角形PCD， 如图（1）可求得点C的坐标为（3a，2a）， 由C点在抛物线上， 得2a=-  x（3a）2+ ×3a， 即  a2- a=0，解得a1=  ，a2=0（舍去），∴OP=  ②依题意作等腰直角三角形QMN， 设直线AB的解析式为y=k2x+b， 由点A（10，0），点B（2，4）， 求得直线AB 的解析式为y=-  x+5， 当P点运动t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况： 第一种情况：CD与NQ在同一条直线上如图（2）所示， 可证△DPQ为等腰直角三角形， 此时OP、DP、AQ的长可依次表示为t、4t、2t个单位长度， ∴PQ=DP=4t， ∴t+4t+2t=10， ∴t=10/7 ， 第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图（3）所示， 可证△PQM为等腰直角三角形， 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位长度， ∴OQ=10-2t， ∵F点在直线AB上， ∴FQ=t， ∴MQ=2t， ∴PQ=MQ=CQ=2t， ∴t+2t+2t=10， ∴t=2， 第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图（4）所示， 此时OP、AQ的长可依次表示为t、2t个单位长度， ∴t +2t= 10， ∴t=10/3， 综上，符合题意的t值分别为10/7，2，10/3。 |
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