已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离是5， / 微思试题库

试题：

已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知此抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离是5，求抛物线的方程及m的值．

抛物线的标准方程及图象 2016-05-16

答案：

我来补答

分三种情况加以讨论
（1）当抛物线焦点在x轴正半轴上时，设其方程为y²=2px（p＞0）
代入A点坐标，得2pm=9…①
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5
∴m+

=5…②
将①②两式联解得：m=

、p=9或m=

、p=1，
相应的抛物线方程为y²=18x和y²=2x；
（2）当抛物线焦点在x轴负半轴上时，设其方程为y²=-2px（p＞0）
代入A点坐标，得-2pm=9…③
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5，∴-m+

=5…④
将③④两式联解得：m=-

、p=9或m=-

、p=1，
相应的抛物线方程为y²=-18x和y²=-2x；
可得m=-

或m=

，相应的抛物线方程为y²=-18x或y²=-2x；
（3）当抛物线焦点在y轴上时，设其方程为x²=-2qy（q＞0）
将点A（m，-3）代入方程，得m²=6q…③
∵抛物线上一点A（m，-3）到焦点F的距离为5
∴3+

=5解之得q=4，代入③得m=±2

此时抛物线的方程为x²=-8y，
综上所述，抛物线方程为y²=18x，m=

；或抛物线方程为y²=2x，m=

；或抛物线方程为y²=-18x，m=-

；或抛物线的方程为y²=-2x，m=

；或抛物线的方程为x²=-8y，m=±2

．

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