已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′ / 微思试题库

试题：

已知在长方体ABCD-A′B′C′D′中，点E为棱CC′上任意一点，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求证：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若点P为棱C′D′的中点，点E为棱CC′的中点，求二面角P-BD-E的余弦值．

用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题 2016-05-16

答案：

我来补答

（Ⅰ）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD，
∵CC'⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥CC'．
又∵CC'∩AC=C，∴BD⊥平面ACC'A'．
∵BD⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面ACC'A'，即平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）建立分别以DA、DC、DD'为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
可得D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，2，

），P（0，1，1）．
设平面BDE的一个法向量为

=(x，y，z)，

∵

=(2，2，0)，

=(0，2，

)，
∴

•

=2x+2y=0

•

=2y+

z=0

，取x=1，得y=-1且z=4．
可得

=(1，-1，4)；
设平面PBD的一个法向量为

=(m，n，p)，
∵

=(0，1，1)，∴

•

=2m+2n=0

•

=n+p=0

取m=1，得n=-1且p=1，可得

=(1，-1，1)．
∵cos＜

，

＞=

•

|•|

，且二面角P-BD-E是锐二面角，
∴二面角P-BD-E的余弦值为

．

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