试题：
| 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC上，且不与点C重合， (1)当CF=1时，求证：EF⊥A1C； (2)设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值． |
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二面角, 三垂线定理及其逆定理
2016-05-16
答案：
我来补答| 解：过E作EN⊥AC于N，连结EF， (1)如图1，连结NF、AC1， 由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C， 又底面ABC∩侧面A1C=AC，EN  底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影， 在Rt△CNE中，CN=CEcos60°=1， 则由  ，得NF∥AC1，又AC1⊥A1C， 故NF⊥A1C， 由三垂线定理知EF⊥A1C。 |
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| (2)如图2，连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME， 由(1)知EN⊥侧面A1C， 根据三垂线定理得EM⊥AF， 所以∠EMN是二面角C-AF-E的平面角，即∠EMN=θ， 设∠FAC=α，则0°＜α≤45°， 在Rt△CNE中，NE=EC·sin60°=  ，在Rt△AMN中，MN=AN·sinα-3sinα， 故  ，又0°＜α≤45°， ∴  ，故当  ，即当α=45°时，tanθ达到最小值，  ，此时F与C1重合． |
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