试题：
| 如图，在正四棱锥S-ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论中恒成立的个数为（ ） （1）EP⊥AC； （2）EP∥BD； （3）EP∥面SBD； （4）EP⊥面SAC．
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空间中直线与平面的位置关系
2016-05-16
答案：
我来补答如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN． （1）由正四棱锥S-ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD，∴SO⊥AC． ∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD， ∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=N， ∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确． （2）由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线，不可能EP∥BD，因此不正确； （3）由（1）可知：平面EMN∥平面SBD，∴EP∥平面SBD，因此正确． （4）由（1）同理可得：EM⊥平面SAC，若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确． 综上可知：只有（1）（3）正确．即四个结论中恒成立的个数是2． 故选B． |
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