试题：
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=
1
3
．
（1）求2sin2(
π
3
+
B+C
2
)+sin
4π
3
cos(
π
2
+A)的值； 
（2）若a=
3
，求三角形面积的最大值．
两角和与差的三角函数及三角恒等变换 2016-05-17

答案：

我来补答
（1）2sin2(
π
3
+
B+C
2
)+sin
4π
3
cos(
π
2
+A)
=1-cos（
2π
3
+B+C）+sin
π
3
sinA
=1-cos
2π
3
cos（B+C）+sin
2π
3
sin（B+C）+sin
π
3
sinA
=1-
1
2
cosA+
3
2
sinA+
3
2
sinA
=
5
6
+
2
6
3
．
（2）∵
b2+c2-a2
2bc
=cosA=
1
3
，∴
2
3
bc=b2+c2-a2≥2bc-a2．
又a=
3
，∴bc≤
9
4
，
当且仅当b=c=
3
2
时，bc=
9
4
，故bc的最大值是
9
4
．
∵cosA=
1
3
，∴sinA=
2
2
3
，S=
1
2
bcsinA≤
3
4
2
．
故三角形面积的最大值是
3
2
4
．
 
 
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