已知x，y≠kπ+π2（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sin / 微思试题库

试题：

已知x，y≠kπ+

（k∈Z），sinx是sinθ，cosθ的等差中项，siny是sinθ，cosθ的等比中项．
求证：（1）cos2x=

cos2y；（2）

2(1-tan2x)

1+tan2x

1-tan2y

1+tan2y

．

两角和与差的三角函数及三角恒等变换, 等比数列的定义及性质, 等差数列的定义及性质 2016-05-17

答案：

我来补答

证明：（1）∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sinθ+cosθ=2sinx①，sinθcosθ=sin²y②，
①²-②×2，可得（sinθ+cosθ）²-2sinθcosθ=4sin²x-2sin²y，即4sin²x-2sin²y=1．
∴4×

1-cos2x

-2×

1-cos2y

=1，即2-2cos2x-（1-cos2y）=1．
故证得cos2x=

cos2y；
（2）要证

2(1-tan2x)

1+tan2x

1-tan2y

1+tan2y

，只需证

sin2x

cos2x

sin2x

cos2x

sin2y

cos2y

2(1+

sin2y

cos2y

)

，
即证

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

cos2y-sin2y

2(cos2y+sin2y)

，即证cos²x-sin²x=

（cos²y-sin²y），只需证cos2x=

cos2y．
由（1）的结论，cos2x=

cos2y显然成立．
所以

2(1-tan2x)

1+tan2x

1-tan2y

1+tan2y

．

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