试题：
（本小题满分12分） 点M在椭圆  上，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点F．（I）若圆M与y轴相交于A、B两点，且△ABM是边长为2的正三角形，求椭圆的方程； （II）已知点F（1，0），设过点F的直线l交椭圆于C、D两点，若直线l绕点F任意转动时，恒有  成立，求实数 的取值范围． |
椭圆的定义
2016-05-17
答案：
我来补答（I）椭圆方程为  （II）a的取值范围是  |
解：（I）  ABM是边长为2的正三角形，∴圆的半径r=2，∴M到y轴的距离  …………（2分）又圆M与x轴相切，∴当  ∴ …………（4分）∴   ∴  解得a=3或a=－1（舍去），则 故所求椭圆方程为 …………（6分）（II）（方法1）①当直线l垂直于x轴时，把x=1代入，得    解得  （舍去），即 …………（8分）②当l不垂直x轴时，设  ，直线AB的方程为  得  则   得 恒成立．…………（10分）   ，由题意得，  恒成立． 当  不是恒成立的．当  ，恒成立．当  恒成立, ，   解得 综上，a的取值范围是 …………（12分）（方法2）设 ①当直线CD与x轴重合时，有    恒有 …………（8分）②当直线C不与x轴重合时，设直线CD的方程为  整理得    恒为钝角，则  恒成立 …………（10分）   又   恒成立，即  恒成立．当 时，     解得 综上，a的取值范围是 …………（ 12分） |
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