试题：
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为  .过F1的直线交椭圆C于A，B两点，且△ABF2的周长为8.过定点M(0，3)的直线l1与椭圆C交于G，H两点(点G在点M，H之间)．(1)求椭圆C的方程； (2)设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形？如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，请说明理由． |
椭圆的定义
2016-05-17
答案：
我来补答(1)  ＝1(2) |
(1)设椭圆的方程为  ＝1(a>b>0)，由离心率e＝ ＝，△ABF2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝8，得a＝2，c＝1，则b2＝a2－c2＝3.所以椭圆C的方程为 ＝1.(2)由题意可知，直线l1的方程为y＝kx＋3(k>0)． 由  得(3＋4k2)x2＋24kx＋24＝0，①Δ＝(24k)2－4×24×(3＋4k2)>0，解得k>  .设椭圆的弦GH的中点为N(x0，y0)，则“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形为菱形”等价于“在x轴上是否存在点P(m，0)，使得PN⊥l1”． 设G(x1，y1)，H(x2，y2)，由韦达定理，得x1＋x2＝－  ，则x0＝  ＝－ ，所以y0＝kx0＋3＝ ，即N  ，kPN＝－ .从而－ ·k＝－1，解得m＝－   .又因为m′(k)＝  >0，所以函数m＝－ 在定义域 上单调递增，且mmin＝m ＝－ ，即m∈.故存在满足条件的点P(m，0)，m的取值范围为 |
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