D

利用椭圆离心率的概念和双曲线渐近线求法求解.
∵椭圆的离心率为,
∴==,
∴a=2b.
∴椭圆方程为x²+4y²=4b².
∵双曲线x²-y²=1的渐近线方程为x±y=0,
∴渐近线x±y=0与椭圆x²+4y²=4b²在第一象限的交点为,
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为
b×b=4,
∴b²=5,
∴a²=4b²=20.
∴椭圆C的方程为+=1.
故选D.