试题：
椭圆  ＝1(a>b>0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是________． |
椭圆的定义
2016-05-17
答案：
我来补答 ≤e<1. |
解法1)由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，而|FA|＝  －c，|PF|≤a＋c，所以－c≤a＋c，即a2≤ac＋2c2.又e＝ ，所以2e2＋e≥1，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0<e<1，所以≤e<1.(解法2)设点P(x，y)．由题意，椭圆上存在点P，使得线段AP的垂直平分线过点F，所以|PF|＝|FA|，由椭圆第二定义，  ＝e，所以|PF|＝e－ex＝a－ex，而|FA|＝－c，所以a－ex＝－c，解得x＝ (a＋c－)．由于－a≤x≤a，所以－a≤ (a＋c－)≤a.又e＝，所以2e2＋e－1≥0，即(2e－1)(e＋1)≥0.又0<e<1，所以 ≤e<1. |
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