试题：
已知对称中心为坐标原点的椭圆 与抛物线 有一个相同的焦点 ，直线 与抛物线 只有一个公共点.（1）求直线l的方程； （2）若椭圆  经过直线l上的点P，当椭圆 的长轴长取得最小值时，求椭圆 的方程及点P的坐标。 |
直线的方程, 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）
2016-05-17
答案：
我来补答解：（1）解法一：由 ，消去y得 。 ∵直线l与抛物线  只有一个公共点 ∴  解得m=-4∴直线l的方程为y=2x-4 解法二：设直线l与抛物线  的公共点坐标为 由  得 ∴直线的斜率  依题意得  解得 ，把  代入抛物线 的方程得 ∵点  在直线l上，∴  解得 ∴直线l的方程为  ；（2）解法一：抛物线  的焦点为 依题意知椭圆  的两个焦点坐标为 ，设椭圆  的方程为 ，由  消去y，得 由  得  ，解得 ，∴ ， ∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4 此时椭圆  的方程为 ，把a=2代入方程 得 ，从而 ∴点P的坐标为  解法二：∵抛物线  的焦点为 依题意知椭圆  的两个焦点坐标为 ， 设点  关于直线l的对称点为 ，则  解得  ，∴点  ∴直线  与直线 的交点为 由椭圆定义及平面几何知识得 椭圆  的长轴长 ，其中当点  重合时，上面不等式取等号。 ∴当a=2时椭圆的长轴长取得最小值其值为4， 此时椭圆  方程为 ，点P的坐标为  。 |
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