证明：①f（x）=lnx，f′（ξ）=，x＜ξ＜y …（1分）
（注1：只要构造出函数f（x）=lnx即给1分）
故lny-lnx=，又＜＜…（*） …（2分）
即1-＜lny-lnx＜-1（0＜x＜y） …（3分）
②证明：由（*）式可得＜ln2-ln1＜，
＜ln3-ln2＜，
…
＜lnn-ln（n-1）＜，…（6分）
上述不等式相加，得| n |
| | k-2 |
＜lnn＜| n-1 |
| | k-1 |
（n＞1）…（8分）
（注：能给出叠加式中的任何一个即给（1分），能给出一般式＜lnn-ln（n-1）＜，给出2分）
（2）下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
（注：能猜出n≥3时等式不恒成立即给1分）
当n=1时，f（x）-f（y）=f′（）（x-y）显然成立．…（9分）
当n=2时，f（x）-f（y）=x2-y2=2（）（x-y）=f′（）（x-y）．…（10分）
下证当n≥3时，等式f（x）-f（y）=f′（）（x-y）不恒成立．
不妨设x=2，y=0，则已知条件化为：2n-1=n． …（11分）
当n≥3时，2n-1=（1+1）n-1=++…+≥2+=n+1＞n，…（13分）
因此，n≥3时方程2n-1=n无解．
故n的所有可能值为1和2．…（14分） |
