若椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为22，F1，F2分 / 微思试题库

试题：

若椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）过点（2，1），离心率为

，F₁，F₂分别为其左、右焦点．
（Ⅰ）若点P与F₁，F₂的距离之比为

，求直线x-

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长；
（Ⅱ）设A₁，A₂分别为椭圆C₁的左、右顶点，Q为C₁上异于A₁，A₂的任意一点，直线A₁Q交C₁的右准线于点M，直线A₂Q交C₁的右准线于点N，求证MF₂⊥NF₂．

圆锥曲线综合 2016-05-26

答案：

我来补答

由题意得：

⇒

，F₁，F₂的坐标分别为：（-

，0），（

，0）．
（I）设点P（x，y）与F₁，F₂的距离之比为

，
则：

(x+

) 2+y 2

(x-

) 2+y 2

⇒（x+

）²+y²=

，
是一个圆心在（-

，0）半径为：

的圆，
圆心到直线直线x-

=0的距离为d=

，
直线x-

=0被点P所在的曲线C₂截得的弦长为：
2

．
（II）设Q（s，t），由题意直线QA₁的方程为

=1，
直线QA₂的方程为

=1，
由于椭圆右准线方程为x=

，F₂（

，0），
∵直线QA₁．QA₂分别交椭圆的右准线于M、N点
∴M（2，

t），N（2，

t）
又P（s，t）在椭圆上，故有t2=3-

代入整理得
kMF 2•k NF 2=-1
∴MF₂⊥NF₂．

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