试题：
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
F1Q
|=2a，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
（1）若点P的横坐标为
a
2
，证明：|
F1P
|=a+
c
2

（2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．
圆锥曲线综合 2016-05-26

答案：

我来补答
（1）证明：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左准线方程为x=-
a2
c

∵点P的横坐标为
a
2
，
∴由椭圆的定义可知，
|
F1P
|
|
a
2
+
a2
c
|
=
c
a
，
∴|
F1P
|=a+
c
2
；
（2）设Q（x，y），则
∵|
F1Q
|=2a，∴（x+c）2+y2=4a2
∴|y|≤2a
∵存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，
∴
1
2
•2c•|y|=b2
∴|y|=
b2
c

∴
b2
c
≤2a
∴e2+2e-1≥0
∴e≥
2
-1或e≤-
2
-1
∵0＜e＜1
∴
2
-1≤e＜1．
 
 
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