已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F1， / 微思试题库

试题：

已知椭圆

=1(a＞b＞c＞0，a2=b2+c2)的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于

(a-c)．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长的最大值．

圆锥曲线综合 2016-05-26

答案：

我来补答

（1）依题意设切线长|PT|=

|PF2|2-(b-c)2

，
∴当且仅当|PF₂|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
∴

(a-c)2-(b-c)2

≥

(a-c)，∴0＜

b-c

a-c

≤

，从而解得

≤e＜

，
故离心率e的取值范围是

≤e＜

；
（2）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x-1），
联立方程组

y=k(x-1)

+y2=1

，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x1+x2=

2a2k2

a2k2+1

，x1x2=

a2k2-a2

a2k2+1

，
代入直线方程得y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=

k2(1-a2)

a2k2+1

，x1•x2+y1•y2=

k2-a2

a2k2+1

，
又OA⊥OB，∴

•

=0，∴x1x2+y1y2=0，∴k2=a2，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F₂（c，0）到直线l的距离d=

|ac-a|

a2+1

，
由图象可知s=

2|c-1|

a2+1

c2-2c+1

a2+1

c2-2c+1

c2+2

2c+1+

2c+1

-2

，
∴

≤e＜

，∴

≤c＜1，

≤2c+1＜3，
∴s∈(0，

]，
所以smax=

．

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