试题：
（本题满分13分）如图，分别过椭圆  ： 左右焦点 、 的动直线 相交于 点，与椭圆 分别交于 不同四点，直线 的斜率 、 、 、 满足 ．已知当 轴重合时， ， ．（1）求椭圆  的方程；（2）是否存在定点  ，使得 为定值．若存在，求出 点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由． |
圆锥曲线综合
2016-05-26
答案：
我来补答（1）  （2）M、N坐标分别为 ；为定值 |
试题分析：（1）由已知条件推导出|AB|=2a=2  ，|CD|= ，由此能求出椭圆E的方程．（2）焦点F1、F2坐标分别为（-1，0），（1，0），当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0），当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由  ，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12−6＝0，由此利用韦达定理结合题设条件能推导出存在点M，N其坐标分别为（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|为定值2 ．（1）当l1与x轴重合时，  ，即 ， 2分∴l2垂直于x轴，得  ， ，（4分）得  ， ， ∴椭圆E的方程为． 5分（2）焦点 、坐标分别为(—1，0)、(1，0)．当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)． 6分 当直线l1、l2斜率存在时，设斜率分别为  ， ，设 ， ，由  得： ，∴  ， ．（7分）  ，同理   ． 9分∵  ，∴ ，即 ．由题意知  ， ∴ ．设  ，则 ，即 ， 11分由当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(—1，0)或(1，0)也满足此方程， ∴ 点椭圆 上， 12分∴存在点M、N其坐标分别为 ，使得为定值． 13分 |
展开全文阅读