已知抛物线y2=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5 / 微思试题库

试题：

已知抛物线y²=4x上两定点A、B分别在对称轴两侧，F为焦点，且|AF|=2，|BF|=5，在抛物线的AOB一段上求一点P，使S_△ABP最大，并求面积最大值．

直线与抛物线的应用 2016-05-26

答案：

我来补答

不妨设点A在第一象限，B点在第四象限．如图．
抛物线的焦点F（1，0），点A在第一象限，设A（x₁，y₁），y₁＞0，
由|FA|=2得x₁+1=2，x₁=1，代入y²=4x中得y₁=2，所以A（1，2），…（2分）；
同理B（4，-4），…（4分）
由A（1，2），B（4，-4）得 |AB|=

(1-4)2+(2+4)2

…（6分）
直线AB的方程为

y-2

-4-2

x-1

4-1

，化简得2x+y-4=0．…（8分）
再设在抛物线AOB这段曲线上任一点P（x₀，y₀），且0≤x₀≤4，-4≤y₀≤2．
则点P到直线AB的距离d=

|2x0+y0-4|

1+4

|2×

y0 2

+y0-4|

(y0+1)2-

…（9分）
所以当y₀=-1时，d取最大值

，…（10分）
所以△PAB的面积最大值为S=

×3

…（11分）
此时P点坐标为（

，-1）．…（12分）．

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