试题：
设双曲线C：
x2
2
-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，垂直于x轴的直线a与双曲线C交于不同的两点S、T．
（1）求直线A1S与直线A2T的交点H的轨迹E的方程；
（2）设A，B是曲线E上的两个动点，线段AB的中垂线与曲线E交于P，Q两点，直线l：x=
1
2
，线段AB的中点M在直线l上，若F（1，0），求
FP
•
FQ
的取值范围．
双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率） 2016-05-25

答案：

我来补答
（1）设直线A1S与直线A2T的交点H的坐标为（x，y），S（x0，y0），T（x0，-y0）
由A1、H、S三点共线，得：(x0+
2
)y=y0(x+
2
)…③
由A2、H、T三点共线，得：(x0-
2
)y=-y0(x-
2
)…④
联立③、④，解得x0=
2
x
，y0=
2
y
x
．
∵S（x0，y0）在双曲线上，
∴
(
2
x
)2
2
-(
2
y
x
)2=1．
∴轨迹E的方程为：
x2
2
+y2=1(x≠0，y≠0)．
（2）由（1）知直线AB不垂直于x轴，设直线AB的斜率为k，
M（
1
2
，m）（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
由
x12
2
+y12=1
x22
2
+y22=1
得（x1+x2）+2（y1+y2）•
y1-y2
x1-x2
=0，
则1+4mk=0，得：k=-
1
4m
．
此时，直线PQ斜率为k1=4m，PQ的直线方程为：y-m=4m(x-
1
2
)．
代入椭圆方程消去y，整理得（32m2+1）x2-16m2x+2m2-2=0．
又设P（x3，y3），Q（x4，y4），
则：x3+x4=
16m2
32m2+1
，x3x4=
2m2-2
32m2+1
．
∴
FP
•
FQ
=(x3-1)(x4-1)+y3y4=x3x4-（x3+x4）+1+（4mx3-m）（4mx4-m）
=(1+16m2)x3x4-(4m2+1)(x3+x4)+m2+1=(1+16m2)
2m2-2
32m2+1
-(4m2+1)
16m2
32m2+1
+m2+1
=
-13m2-1
32m2+1

令t=1+32m2，
∵点M(
1
2
，m)在椭圆内，∴
(
1
2
)2
2
+m2＜1，
又∵m≠0，
∴0＜m2＜
7
8
，∴1＜t＜29，
则
FP
•
FQ
=-
13
32
-
19
32t
∈(-1，-
99
232
)．
∴，
FP
•
FQ
的取值范围为(-1，-
99
232
)
 
 
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