试题：
双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞1，b＞0）的焦点距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（-1，0）到直线l的距离之和s≥
4
5
c．求双曲线的离心率e的取值范围．
双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率） 2016-05-25

答案：

我来补答
直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1，即bx+ay-ab=0．
由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点（1，0）到直线l的距离d1=
b(a-1)
a2+b2
，
同理得到点（-1，0）到直线l的距离d2=
b(a+1)
a2+b2
s=d1+d2=
2ab
a2+b2
=
2ab
c
．
由s≥
4
5
c，得
2ab
c
≥
4
5
c，即5a
c2-a2
≥2c2．
于是得5
e2-1
≥2e2，即4e4-25e2+25≤0．解不等式，得
5
4
≤e2≤5．
由于e＞1＞0，
所以e的取值范围是
5
2
≤e≤
5
．
 
 
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