试题：
设A、B分别为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左右顶点，双曲线的实轴长为4
3
，焦点到渐近线的距离为
3
．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=
3
3
x-2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使
OM
+
ON
=t
OD
，求t的值及点D的坐标．
圆锥曲线综合, 双曲线的标准方程及图象 2016-05-25

答案：

我来补答
（1）由实轴长为4
3
，得a=2
3
，
渐近线方程为y=
b
2
3
x，即bx-2
3
y=0，
∵焦点到渐近线的距离为
3
，
∴
|bc|
b2+12
=
3
，又c2=b2+a2，∴b2=3，
∴双曲线方程为：
x2
12
-
y2
3
=1；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，
由
y=
3
3
x-2
x2
12
-
y2
3
=1
⇒x2-16
3
x+84=0⇒x1+x2=16
3
，
∴y1+y2=
3
3
(x1+x2)-4=12，
∴
x0
y0
=
4
3
3
x02
12
-
y02
3
=1
，解得
x0=4
3
y0=3
，∴t=4，
∴D(4
3
，3)，t=4．
 
 
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这些题目你会做吗？
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