已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角 / 微思试题库

试题：

已知椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点，若点P满足

（O为坐标原点），判断点P是否在椭圆C上，并说明理由．

圆锥曲线综合, 椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率） 2016-05-25

答案：

我来补答

（1）联立

x-y-b=0

x2=4y

，消去y得到x²-4x+4b=0．
∵直线l：x-y-b=0是抛物线x²=4y的一条切线，∴△=16-16b=0，解得b=1．
∵椭圆C：

=1（a＞b＞0）的两焦点与短轴的一个端点连结成等腰直角三角形，
∴a=

．故所求的椭圆方程为

+x2=1．
（2）由

y=x-1

+x2=1

得3x²-2x-1=0，解得x1=1，x2=-

，
∴A(1，0)，B(-

，-

)，
设P（x，y），∵

，
∴

=(1-

+x，0-

+y)=（0，0），
解得x=-

，y=

，∴P(-

，

)，
把点P(-

，

)代入椭圆方程

+x2=1，得

(

)2+(-

)2=

≠1，
∴点P不在椭圆C上．

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