试题：
已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F2与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）求椭圆C的方程．
椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率） 2016-05-25

答案：

我来补答
（1）根据椭圆的性质可得，当P是椭圆短轴的顶点时，∠F1PF2 取最大值为90°，∴b=c，
∴a=
2
c，∴离心率
c
a
=
2
2
．
（2）由（1）知，可设椭圆方程：
x2
2c2
+
y2
c2
= 1，c＞0，当直线l垂直于x轴时，
直线l的方程为 x=-c，，△ABF2 为等腰三角形，把x=-c  代入椭圆可得 y=±
2
2
c．
△ABF2的面积为 
1
2
•
2
 c•2c=
2
 c2．令
2
 c2=12，c2=6
2
，
椭圆的方程为
x2
12
2
+ 
y2
6
2
=1．
当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为 y-0=k（x+c），代入椭圆的方程可得 
（1+2k2）x2 +4c k2x+2c2（k2-1）=0，∴x1+x2 =
-4ck2
1+ 2k2
，x1x2=
2c2(k2-1)
1+  2k2
．
∴AB=
1+k2
|x1-x2|=
2
2
c(1+k2)
1+2k2
，AB边上的高h=2c•sin∠BF1F2=2c
|K|
1+K2
，
∴△ABF2的面积 S=
1
2
•AB•h=
1
2
•
2
2
c(1+k2)
1+2k2
•2c
|K|
1+K2
 
=2
2
c2•
1+k2
|k|
1+2k2
=2
2
c2•
k2+k4
1+4k2+4k4
=2
2
c2•
1
4+
1
k4+k2
≤
2
c2，
 故S的最大值为
2
c2，此时，椭圆的方程为
x2
12
2
+ 
y2
6
2
=1．
 
 
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